Недавно я решил разобраться в физике. И стал я читать книжку Айзек Азимов — «Understanding Physics». Эта замечательная книжка содержит то, чего не хватает всем учебникам физики — логику повествования. О ней я собираюсь написать отдельную заметку. А сейчас хотел бы рассказать о нескольких конкретных темах, в которых пришлось более или менее долго и тщательно разбираться:
- Закон сохранения момента импульса при изменяющемся моменте инерции.
- Уравнение Бернулли.
- Молекулярная физика и термодинамика: температура, идеальный газ, энтропия.
В этой заметке я расскажу, как я размышлял над уравнением Бернулли. Надо сказать, что книжка Азимова почти не содержит математики — за математическими выкладками нужно обращаться к учебникам физики. Я использовал несколько учебников:
- Дуглас Джанколи — Физика в 2-х томах — Москва, Мир, 1989. Раздел 13.3 — Уравнение Бернулли.
- Hugh Young and Roger Freedman — University Physics with Modern Physics. Раздел 12.5 — Bernulli’s Equation.
- И.В. Савельев — Курс общей физики. Том 1. Механика. Молекулярная физика. Раздел 73 — Уравнение Бернулли.
Вывод уравнения Бернулли
Вывод уравнения Бернулли следует из уравнения непрерывности текущей жидкости и закона сохранения энергии. Этот вывод можно найти в [Джанколи]. Здесь приведу только рисунок, иллюстрирующий вывод.
Определение понятия «давление»
В книге [Джанколи] определение давления в жидкости дается в разделе 12.2 Давление в жидкостях и газах как модуля силы, которая действует на единицу площади грани очень малого кубика, наполненного той же жидкостью (рис. 2). Причем определение дается принципиально для покоящейся жидкости, следовательно и кубик тоже покоится. А раз кубик покоится, то значит сила, действующая на его левую грань, равна по модулю силе, которая действует на его правую грань. А сила, действующая на его верхнюю грань, равна по модулю силе, действующей на его нижнюю грань. Кроме того, утверждается, что давление одинаково во всех направлениях, то есть например сила, действующая на левую грань, равна по модулю силе, действующей на нижнюю грань (это опытный факт, который называется законом Паскаля).
Однако при выводе уравнения Бернулли рассматривается не покоящаяся, а движущаяся жидкость. Тот факт, что определение понятия давления было дано для покоящейся жидкости, авторы учебников видимо считают несущественным. Впрочем нетрудно догадаться, что в случае с движущейся жидкостью определение понятия давления модифицируется так: давление в движущейся жидкости — это модуль силы, действующей на единицу площади грани очень малого кубика, наполненного той же жидкостью и движущегося вместе с жидкостью (рис. 3). Очевидно, именно такое определение давления подразумевается в формулировке закона Бернулли.
Для меня проблемы с пониманием начались с рассмотрения задачи, в которой присутствует одновременно и движущаяся, и покоящаяся жидкость (рис. 4).
Действительно, в такой задачке давление движущейся жидкости уравновешивается давлением покоящейся жидкости в том месте где они соприкасаются. Но как сравнить давление в движущейся и давление в покоящейся жидкости, если у них разные определения понятия «давление»? Чтобы понять, что от используемого определения кое-что зависит, посмотрим на рисунок 5, на котором имеется четыре разных кубика: кубик 1 покоится в движущейся жидкости (он символически привязан веревкой к трубе), кубик 2 покоится в покоящейся жидкости, кубик 3 движется в движущейся жидкости. Очевидно, что на левую грань кубика 1 со стороны жидкости действует сила, большая той, которая действует на левую грань кубика 3. Какое определение давления принять для кубика 4, который находится на границе движущейся и покоящейся жидкости, непонятно (в реальности такой кубик вероятно двигался бы вправо и вращался).
Размышляя подобным образом, я пришел к мысли, что если рассматривать кубик на границе движущейся и покоящейся жидкости, то надо отнести его целиком либо к той, либо к другой (рис. 6). Тогда нет нужды давать единое определение давления. Действительно, на рисунке 6(а) как и на рисунке 6(б), давление на верхнюю грань кубика со стороны покоящейся жидкости уравновешивается давлением на нижнюю грань со стороны движущейся жидкости (в противном случае кубик двигался бы в вертикальном направлении в сторону меньшего давления, чего не происходит). В этом смысле давления в движущейся и покоящейся жидкости можно считать одинаковыми, хотя для них и приняты различные определения.
 |
 |
| Рисунок 6 — Равенство давлений, действующих на кубик со стороны движущейся и со стороны покоящейся жидкостей | |
Пожалуй можно дать «усовершенствованное» определение давления как модуля силы действующей на единицу площади грани кубика, который совершает такое же движение, как та жидкость, в которой он содержится (если же жидкость покоится, то кубик тоже покоится).
Примеры использования уравнения Бернулли
Примеры использования уравнения Бернулли, приведенные в учебниках, разделились для меня на понятные и непонятные. Сначала приведу два понятных мне примера, затем — два непонятных. Наверное стоит оговориться, что вязкостью жидкости при рассмотрении закона Бернулли в учебниках для простоты пренебрегают.
Истечение жидкости из отверстия
Истечение жидкости (рис. 7) — простой пример, который приводится во всех учебниках. Тут все понятно. Жидкость вытекает через отверстие в нижней части сосуда. Ускорение жидкости происходит за счет работы силы тяжести. На рисунке 7 показана формула для скорости жидкости, которая вытекает через отверстие. Надо заметить, что эта формула работает при условии, что площадь отверстия A2 меньше, чем площадь сечения сосуда A1. Если это условие не выполняется, то, очевидно, скорости v1 и v2 не будут постоянными, а будут увеличиваться со временем.
Трубка Вентури
Трубка Вентури (рис. 8) — это трубка, посередине которой имеется сужение. Давление в этом сужении меньше, чем в остальных частях трубки, и разность давлений в широкой и узкой части трубки можно измерить при помощи манометра.
Пульверизатор
В [Джанколи] в качестве примера использования закона Бернулли приводится пульверизатор (рис. 9). Имеется сосуд с жидкостью, в который опущена трубка. Над трубкой расположена груша, при помощи которой можно выдувать воздух, и струя этого воздуха будет проходить над трубкой, опущенной в жидкость. Утверждается, что давление в струе воздуха будет ниже атмосферного, так струя воздуха движется с большой скоростью. Поэтому жидкость будет выталкиваться атмосферным давлением через трубку наружу и захватываться струей воздуха.
Тезис о том, что в струе воздуха давление ниже атмосферного, мне непонятен. Согласно уравнению Бернулли можно лишь утверждать, что давление в груше выше, чем давление в струе. Но давление в груше явно должно быть выше атмосферного, иначе грушу не нужно было бы сжимать.
Водоструйный насос
Другой непонятный для меня пример — водоструйный насос (рис. 10), который приводится в качестве примера в [Савельев]. Это трубка Вентури, через которую течет жидкость. Причем конец трубки выходит в атмосферу. В сужении трубки создается давление ниже атмосферного, что позволяет ей засасывать воздух из откачиваемой камеры.
Что мне непонятно. Если насос расположен вертикально (как на рисунке 10), то тогда скорость жидкости должна увеличиваться со временем (иначе на что же будет идти работа силы тяжести?), и так она будет увеличиваться до бесконечности.
Вот таковы понятности и непонятности уравнения Бернулли для меня.